Geometric methods for the construction of invariant sets. Application to the feasibility of predictive control laws
Méthodes géométriques pour la construction des ensembles invariants. Application à la faisabilité des lois de commande prédictive
Résumé
The present work is based on the explicit formulations for the predictive control of constrained linear systems and underlines the piecewise linear structure of the resulting closed loop dynamics. The main contributions of this thesis are concentrated around the construction of invariant set for Piecewise Affine Systems (PWA). Practical algorithmical procedures are detailed for the case of PWA system defined over a polyhedral partition in the state space even if the priciples are applicable in the general framework. Three specific techniques are presented : – expansive construction, – contractive construction, – construction based on transition graph. At the methodological level, all these constructions being based on the forward of backord set dynamics in the state space, they imply a geometrical treatment at least in what it may concern the comparison with the original feasible domain. This treatement can lead to complex calculations due to the curse of dimensionality. An innovative solution was proposed by exploiting the analysis by intervals. It is interesting to observe that the construction of the invariant sets opens the way to the post-treatment of the of predictive control laws with the aim of the maximization of their domain of functioning with guarantee of safety. In this directions comparisons are carried out between the different MPC structures. The performances of the classical formulations are analysed in comparison with schemes which benefit from the invariance properties from the design stage on one hand and with explicit formulations which benefit from the post analysis for the characterization of the viable domains on the other hand. Furthermore, the present work presents extensions of these geometrical methods for the trajectory tracking, for handling paramer uncertainties or dealing with variable delay in the input of the system. An important part of these theoretical developments are illustrated by examples along their introduction. The manuscript contains also the study of a trajectory tracking problem and a feasibility / viability analysis of a certain profile in view of the electricity production characterization for a hydraulic valley.
La thèse retrace les principes généraux des formulations explicites pour la commande prédictive et souligne la structure linéaire par morceaux de la dynamique. Les contributions principales de ce travail de thèse résident dans la construction des ensembles invariants pour les systèmes affines par morceaux (PWA). Les résultats se concentrent sur le traitement des systèmes PWA définis sur une partition polyédrale de l'espace d'état même si les principes sont applicables dans un cadre plus général. Trois constructions remarquables peuvent être mises en évidence : – la construction expansive, – la construction contractive, – la construction basée sur les graphes des transitions. Au niveau méthodologique toutes ces constructions étant basées sur la dynamique directe ou en temps inverse des ensembles de l'espace d'état, elles impliquent un traitement géométrique au moins dans la partie de comparaison avec le domaine faisable qui peut s'avérer gourmand en temps de calcul. Une solution innovante a été proposée en exploitant l'analyse par intervalles. Il est intéressant d'observer que la construction des ensembles invariants ouvre la voie au post-traitement des lois de commandes prédictives en vue de la maximisation de leur domaine de fonctionnement avec garantie de sureté. Des comparaisons sont faites entre les différentes structures MPC avec d'une part les formulations qui bénéficient du renforcement de l'invariance dès la phase de synthèse et d'autre part les formulations explicites qui bénéficient de la post analyse pour la caractérisation des domaines viables. En outre, le présent travail fait état des extensions MPC à base de ces méthodes géométriques pour le suivi de trajectoire, pour la prise en compte des incertitudes paramétriques ou d'un retard variable à l'entrée du système. Une grande partie de ces développements théoriques sont illustrés par des exemples au fur et à mesure de leur introduction. Le mémoire contient aussi l'étude d'un problème de suivi de trajectoire et de faisabilité/viabilité d'un certain profil, avec application pour la production d'électricité en conjonction avec la caractérisation d'une vallée hydraulique.
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