Processus de branchement, génétique des populations et généalogies aléatoires - Centre de mathématiques appliquées (CMAP) Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2007

Branching processes, population genetics and random genealogies

Processus de branchement, génétique des populations et généalogies aléatoires

Résumé

We seek to construct genetics of branching populations, based upon continuous-state branching processes, also called CB-processes.

We get stationary versions of branching trees, by modifying them in two fashions: introducing competition-type interactions between individuals, to regulate population size (`logistic branching process'); applying various conditionings, in the sens of Doob's h-process: conditioning the associated Lévy process to remain in a finite interval, conditioning CB-processes to non-extinction (Q-process), but also CB-processes with interactions, in their diffusion form.


We study the fixation probability of a mutant. Using diffusion theory, we propose a unifying framework to compare two classical models and the logistic branching model. Then, we endow each individual with a quantitative trait subject to mutations, and by a micro--macro approach, we follow the evolution of the resident trait (`canonical diffusion of adaptive dynamics').

We study the genealogy of CB-processes with immigration, among which lies the aforementioned $Q$-process. We construct branching trees (whose width process is not Markovian), called splitting trees, on which can directly be seen both types of genealogies associated with CB-processes, that were discovered by J.-F. Le Gall and collaborators. We also provide a proof of the Lamperti representation of CB-processes as time-changed Lévy processes.

We give a retrospective description of the genealogical structure of CB-processes, and then of splitting trees, as does coalescence theory in modern population genetics.

Collaborations in various fields of population biology are also displayed : classical population genetics, ecology of invasions, conservation biology.
Nous cherchons à construire une génétique des populations branchantes, basée notamment sur les processus de branchement à espace d'états continu, dits CB-processus.

Nous modifions d'abord les arbres branchants afin d'en obtenir des versions stationnaires, de deux façons : en introduisant des interactions de type compétitif entre les individus, de manière à réguler la taille de la population ("processus de branchement logistique"); en appliquant divers conditionnements, au sens des h-processus de Doob : conditionnement du processus de Lévy associé à rester dans un intervalle, conditionnement à la non-extinction des CB-processus (Q-processus), mais aussi des CB-processus avec interactions, sous leur forme diffusion.

Nous étudions la probabilité de fixation d'un mutant, question qui conditionne l'évolution de la diversité. En utilisant la théorie des diffusions, nous proposons un cadre unifié permettant de comparer deux modèles classiques et le modèle de branchement logistique. Puis nous munissons les individus d'un trait quantitatif soumis à des mutations, et nous suivons, par une approche micro--macro, l'évolution du trait résident ("diffusion canonique de la dynamique adaptative").


Nous étudions la généalogie associée aux CB-processus avec immigration, dont un cas particulier est le Q-processus cité plus haut. Nous construisons des arbres branchants (dont la largeur n'est pas markovienne), dits \emph{arbres de ramification}, sur lesquels se voient directement les deux types de généalogies associées aux CB-processus, qui ont été découvertes par J.-F. Le Gall et ses collaborateurs. Nous donnons également une démonstration de la représentation de Lamperti des CB-processus comme processus de Lévy changés de temps.

Nous décrivons de façon rétrospective la structure généalogique des CB-processus, puis celle des arbres de ramification, comme le fait une des approches phares de la génétique des populations moderne, dite théorie de la coalescence.

Des collaborations dans divers domaines de la biologie des populations sont également exposées : génétique des populations classique, écologie des invasions, biologie de la conservation.
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Dates et versions

tel-00252415 , version 1 (12-02-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00252415 , version 1

Citer

Amaury Lambert. Processus de branchement, génétique des populations et généalogies aléatoires. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2007. ⟨tel-00252415⟩
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