A Probabilistic Numerical Method for Fully Non-linear Parabolic Partial Differential Equations
Une Méthode Numérique Probabiliste pour les Équations aux Dérivées Partielles Paraboliques et complètement non-linéaires
Résumé
The second part of the thesis deals with the optimal production policy under the carbon emission allowance market. The carbon emission allowance market is a market approach to implement Kyoto protocol. We calculated the optimal production in 3 cases: when there is such a market but without any large carbon producer, when there is a large producer who is not market maker, and when there is a large producer market maker. We showed that in second cases, the optimal production is always less than the first case and in the third case it is even less than the second case. On the other hand, we showed that the market maker (if there exist any) can benefit from the market by changing the risk premium of the carbon allowance due to her extra production. The model we used here for the price of carbon allowance is a BSDE. Then we introduce a stochastic optimization problem. The carbon producer wants to maximaze her utility from her wealth. Her wealth consists of two parts: a self--financing portfolio over the carbon emission allowance papers and the benefit from her production. As expected, the optimal production does not depend on the utility. One could pass to a new optimization problem which gives the optimal production. We choose to solve the stochastic optimization problem by the means of HJB equations. We obtained the verification and uniqueness result for the HJB equation. This part is closed by some numerical experiments which shows cases which the large producer can benefit from extra production.
Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie introduit une méthode probabiliste numérique pour les EDPs parabolique et complètement non-linéaire, puis on considère ses propriétés asymptotiques (convergence et taux de convergence) et aussi l'analyse de l'erreur due à l'approximation de l'espérance conditionnelle par une méthode de type Monte Carlo. Les EDPs complètement non- linaires apparaissent dans plusieurs applications en ingénierie, économie et finance. Citons par exemple le problème de propagation de front par courbure moyenne, ou le problème de sélection de portefeuille. Une classe importante d'EDP complètement non-linéaire est constituée par les équations de HJB découlant du contrôle optimal stochastique. Dans la plupart des cas, il n'existe pas de solution dans le sens classique. Par conséquent, la notion de solution de viscosité est utilisé pour les EDP complètement non-linéaires. En raison de manque de de solution explicite dans de nombreuses applications, les schémas d'approximation sont devenus très importants. Pour montrer la convergence, la méthode utilisée dans cette thèse a été introduite par Barles et Souganidis. Leurs travaux fournissent le résultat de convergence vers des solutions de viscosité pour une solution approchée obtenue à partir cohérente, monotone et stable régime. An d'obtenir le taux de convergence, nous avons supposé que le EDP a non-linéarité concave de type HJB. En d'autres termes, la non-linéarité est une borne inférieure des opérateurs linéaires. La thèse a utilisé la méthode de Krylov des coefficients secoué et d'approximation par un système d'équations HJB couplées pour obtenir des bornes sur les taux de convergence. La mise en œuvre du schéma requiert d'introduire une approximation des espérances conditionnelles. Pour une classe d'estimateurs, nous avons obtenu une borne inférieure sur le nombre de chemins échantillon qui préserve la vitesse de convergence obtenue avant. La généralisation de la méthode à des équations intégro-diférentielles est simple et on peut utiliser les mÃa mes arguments que dans le cas local pour obtenir la convergence et le taux de convergence. Notons cependant que le cas non local introduit la difficulté supplémentaire d'approximation des termes non locaux. La première partie sera terminée est illustrée par quelques expériences numériques. La méthode est utilisée pour résoudre le problème géométrique des taux de courbure moyenne, le problème de la sélection sur un portefeuille d'actifs avec volatilité stochastique dans le modèle de Heston, et le problème de sélection de portefeuille de deux actifs à la fois avec une volatilité stochastique, on satisfait modèle de Heston et l'autre CEV modèle. La deuxième partie de la thèse traite de la politique de production optimale dans le marché des allocations des permis d'émission de carbone. Le marché des permis d'émissions de carbone est une approche de marché pour mettre en œuvre le protocole de Kyoto. Nous avons calculé la production optimale dans 4 cas: quand il n'y a pas un tel marché, quand il y a un tel marché, mais sans grand producteur de carbone, quand il y a un gros producteur qui n'est pas teneur de marché, et quand il existe un marché avec un grande producteur. Nous avons montré que dans les premiers, la production optimale est toujours diminuée. Cependant, dans le dernier cas, nous avons montré que le gros producteur peut bénéficier du marché en changeant la prime de risque de l'allocation de carbone en raison de sa production d'appoint. Cette partie est illustrée par quelques expériences numériques qui montre des cas que le grand producteur peut bénéficier d'une production d'appoint.