On concentration inequalities for equilibrium states in lattice and symbolic dynamical systems - Département de physique Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

On concentration inequalities for equilibrium states in lattice and symbolic dynamical systems

Inégalités de concentration pour des états d'équilibre sur des systèmes sur réseaux et sur des systèmes dynamiques.

Résumé

This thesis deals with the existence of Gaussian concentration for sufficiently mixing equilibrium states for lattice systems. Moreover, we show that such a property ensures uniqueness.In the first chapter, we show that if an equilibrium state associated to a shift-invariant and absolutely summable potential satisfies a Gaussian concentration bound then it is à fortiori mixing and unique em i.e. there is no phase transition.Thereafter, We study numerically a particular physical model which allows phase transition to occur: the ferromagnetic Ising model in two dimensions. We evaluate concentration constants through classical estimates at all temperature. Thank to the behavior of these parameters, we emphasize divergence of the Gaussian concentration constant at the critical temperature deduce that such property doesn't hold.Later on, we prove that the Gaussian concentration behavior holds for all temperature above the critical one for this model.Then, we dedicate a chapter to the study of an unidimensional symbolic dynamics on a finite alphabet: chains with complete connections. In particular, we study the concentration properties of a unique equilibrium state associated to a potential (or transition probability) satisfying Walters' condition.In the end, we review the high-noise regime in probabilistic cellular automata. In particular, we prove that in this regime, the probabilistic cellular automata satisfies a Gaussian concentration for a certain class of spatio-temporal observables.
Cette étude traite de l'existence de concentration Gaussienne pour des états d'équilibre suffisamment mélangeant sur réseau. De plus, nous montrons qu'une telle condition assure l'unicité de ceux-ci.Dans le premier chapitre, nous montrons que si un état d'équilibre associé à un potentiel invariant par décalage et absolument sommable satisfait la concentration Gaussienne alors il est à fortiori mélangeant et unique i.e. il ne peut y avoir transition de phase.Par la suite, nous étudions numériquement un modèle physique particulier autorisant une transition de phase à savoir le modèle d'Ising ferromagnétique en dimension deux. Nous évaluons les constantes de la concentration grâce à la simulation d'observables classiques à toute température. Grâce au comportement de ces paramètres, nous mettons spécialement en lumière la divergence de la constante de concentration Gaussienne à la température critique et nous en déduisons qu'une telle propriété ne peut exister.Puis, nous prouvons que l'existence de la concentration Gaussienne est satisfaite pour toute température supérieure à la température critique pour ce modèle.Ensuite, nous étudions un système dynamique symbolique unidimensionnel sur un alphabet fini: les chaînes à liaisons complètes. Nous étudions en particulier les propriétés de concentration de l'unique état d'équilibre associé à un potentiel (ou probabilité de transition) satisfaisant la condition de Walters.Enfin, nous traitons le régime de haut bruit pour des automates cellulaires probabilistes. Nous prouvons notamment que dans ce régime, ils satisfont la concentration Gaussienne pour une certaine classe d'observables spatio-temporelles.
Fichier principal
Vignette du fichier
95722_MOLES_2020_archivage.pdf (1.66 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03152537 , version 1 (25-02-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03152537 , version 1

Citer

Jordan Moles. On concentration inequalities for equilibrium states in lattice and symbolic dynamical systems. Mathematical Physics [math-ph]. Institut Polytechnique de Paris; Universidad Autónoma de San Luis Potosí, 2020. English. ⟨NNT : 2020IPPAX102⟩. ⟨tel-03152537⟩
136 Consultations
73 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More