Trigonométrie pythagoricienne
Résumé
Après avoir rappelé le contexte de la construction des premières tables de trigonométrie à l'époque de Ptolémée et la synthèse qu'en fit Carnot au début du 19ème siècle, le présent article évoque trois types de démonstrations du théorème de Pythagore. Il montre comment la notion de table de trigonométrie pythagoricienne introduite ici permet d'interpréter la fameuse tablette babylonienne Plimton 322, et il en évoque la précision stupéfiante. Abordant la question de la mesure des angles, il montre autour du mécanisme d'Anticythère comment les grecs ont certainement utilisé plus d'outils que la règle et le compas seuls, notamment car ils ont modélisé les trajectoires des planètes avec des épicycloïdes. Ces deux outils permettent cependant de construire un pentagone régulier. L'article montre l'équivalence par ces outils de la mesure de l'unité ou de celle du nombre d'or. Il rappelle des triplets pythagoriciens construits avec les nombres de Fibonacci. Revenant sur les démonstrations par puzzles, il montre comment certaines illusions d'optique peuvent en résulter, mais comment elles donnent aussi certains jeux d'esprit comme le Stomachion d'Archimède. A l'époque contemporaine, ces jeux sont toujours sérieusement d'actualité, et avec la construction en moulin à vent ils ont permis d'exhiber de nouveaux pavages du plan et des fractales. L'article rappelle à la fin comment tous les triangles pythagoriciens sont déductibles de façon unique du triplet (3,4,5) par une construction arborescente qui éclaire la tablette Plimton 322 d'un jour nouveau. Il se termine sur l'évocation d'un résultat de Stewart généralisant le théorème de Pythagore.
Domaines
Mathématiques générales [math.GM]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)