Kernels and quasi-kernels in digraphs.
Noyaux et quasi-noyaux dans les graphes orientés
Résumé
An important concept in directed graph theory is that of a kernel. This notion was introduced by Morgenstern and von Neumann for studying winning strategies in combinatorial games and now has numerous applications in various fields such as graph theory, game theory, economics, and logic.In a directed graph, D=(V,A), a kernel is a subset N of vertices that is both independent—no pair of vertices in N is connected by an arc—and absorbing—every vertex outside N is the origin of an arc pointing to an element in N. Not all graphs have a kernel, as demonstrated by the example of odd-length cycles. Deciding whether a graph has a kernel is NP-complete. However, there are graphs for which this decision problem is trivial: a directed perfect graph without directed cycles of length 3 always has a kernel. This is a consequence of a theorem by Boros and Gurvich, proved by them in 1996 (and conjectured by Berge and Duchet in 1980). However, the algorithmic complexity of finding a kernel is not known for this class, posing an important open question.The first part of this thesis focuses on studying this question. The polynomial result about some special cases had already been established, such as for triangulated graphs or bipartite graphs. We extend this list, including a generalization of comparability graphs.Chvátal and Lovász showed in 1974 that a slight modification of the kernel definition ensures its systematic existence: they proved that every directed graph has an independent subset N such that every vertex outside N has a path of length at most 2 to an element of N. Such a subset is a quasi-kernel. Their proof provides a polynomial-time algorithm to find one in any directed graph. However, a thorough algorithmic study of quasi-kernels had never been conducted before and constitutes an open question. This study answered natural questions, such as the existence of distinct quasi-kernels or the minimal size of a quasi-kernel, both motivated by a conjecture by Erdős and Székely from 1976.The second part of this thesis consists of the algorithmic study of quasi-kernels and specific cases related to the Erdős-Székely conjecture.
Une notion importante de la théorie des graphes orientés est celle de noyau. Cette notion fut introduite par Morgenstern et von Neumann pour l'étude des stratégies gagnantes dans les jeux combinatoires et possède désormais de nombreuses applications, dans d'autres domaines de la théorie des graphes mais aussi en théorie des jeux, en économie ou en logique. Dans un graphe orienté D=(V,A), un noyau est un sous-ensemble N de sommets qui est à la fois indépendant -- aucune paire de sommets dans N n'est reliée par un arc -- et absorbant-- tout sommet hors de N est origine d'un arc vers un élément de N. Tous les graphes ne possèdent pas de noyau comme le montre l'exemple des circuits de longueur impaire. Décider si un graphe possède un noyau est d'ailleurs NP-complet. Il existe cependant des graphes pour lesquels ce problème de décision est trivial : un graphe parfait orienté sans circuit orienté de longueur 3 possède toujours un noyau. C'est la conséquence d'un théorème de Boros et Gurvich, prouvé par ces derniers en 1996 (et conjecturé par Berge et Duchet en 1980). Cependant, la complexité algorithmique de trouver un noyau n'est pas connue pour cette classe, et constitue une question ouverte importante. La première partie de cette thèse consiste en l'étude de cette question. Le caractère polynomial de quelques cas particuliers avait déjà été établi, comme les graphes triangulés ou étaient connu depuis longtemps, comme les graphes bipartis, et nous étendons cette liste avec notamment une généralisation des graphes de comparabilités.Chv'atal et Lov'asz ont montré en 1974 qu'une petite modification de la définition de noyau assurait son existence systématique : ils ont prouvé que tout graphe orienté possède un sous-ensemble N indépendant tel que tout sommet hors de N possède un chemin de longueur au plus 2 vers un élément de N. Un tel sous-ensemble est un quasi-noyau. Leur preuve fournit d'ailleurs un algorithme polynomial pour en trouver un dans tout graphe orienté. Mais une étude algorithmique approfondie des quasi-noyaux n'avait encore jamais été menée, et constitue. Cette étude a permis de répondre à des questions naturelles comme celle de l'existence de deux quasi-noyaux distincts ou celle de la taille minimale d'un quasi-noyau, toutes deux motivées par une conjecture d'Erdős et Székely de 1976.La deuxième partie de cette thèse est constituée de l'étude algorithmique des quasi-noyaux ainsi que l'étude de cas partiuliers relatifs à la conjecture Erdős et Székely.
Origine : Version validée par le jury (STAR)